09公務(wù)員輔導(dǎo):排列組合問題之錯(cuò)位排列問題
錯(cuò)位排列問題是一個(gè)古老的問題,最先由貝努利(Bernoulli)提出,其通常提法是:n個(gè)有序元素,全部改變其位置的排列數(shù)是多少?所以稱之為“錯(cuò)位”問題。大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)等都有所研究。 下面先給出一道錯(cuò)位排列題目,讓考友有直觀感覺。
例1.五個(gè)編號(hào)為1、2、3、4、5的小球放進(jìn)5個(gè)編號(hào)為1、2、3、4、5的小盒里面,全錯(cuò)位排列(即1不放1,2不放2,3不放3,4不放4,5不放5,也就是說5個(gè)全部放錯(cuò))一共有多少種放法?
【解析】:直接求5個(gè)小球的全錯(cuò)位排列不容易,我們先從簡(jiǎn)單的開始。
小球數(shù)/小盒數(shù) 全錯(cuò)位排列
1 0
2 1(即2、1)
3 2(即3、1、2和2、3、1)
4 9
5 44
6 265
當(dāng)小球數(shù)/小盒數(shù)為1~3時(shí),比較簡(jiǎn)單,而當(dāng)為4~6時(shí),略顯復(fù)雜,考友只需要記下這幾個(gè)數(shù)字即可(其實(shí)0,1,2,9,44,265是一個(gè)有規(guī)律的數(shù)字推理題,請(qǐng)各位想想是什么?)由上述分析可得,5個(gè)小球的全錯(cuò)位排列為44種。
上述是最原始的全錯(cuò)位排列,但在實(shí)際公務(wù)員考題中,會(huì)有一些“變異”。
例2.五個(gè)瓶子都貼了標(biāo)簽,其中恰好貼錯(cuò)了三個(gè),則錯(cuò)的可能情況共有多少種?
【解析】:做此類題目時(shí)通常分為兩步:第一步,從五個(gè)瓶子中選出三個(gè),共有 種選法;第二步,將三個(gè)瓶子全部貼錯(cuò),根據(jù)上表有2種貼法。則恰好貼錯(cuò)三個(gè)瓶子的情況有 種。
【拓展】:想這樣一個(gè)問題:五個(gè)瓶子中,恰好貼錯(cuò)三個(gè)是不是就是恰好貼對(duì)兩個(gè)呢?答案是肯定的,是。那么能不能這樣考慮呢?第一步,從五個(gè)瓶子中選出二個(gè)瓶子,共有 種選法;第二步,將兩個(gè)瓶子全部貼對(duì),只有1種方法,那么恰好貼對(duì)兩個(gè)瓶子的方法有 種。問題出來了,為什么從貼錯(cuò)的角度考慮是20種貼法,而從貼對(duì)的角度考慮是10種貼法呢。在此明確告知,后者的解題過程是錯(cuò)誤的,請(qǐng)考友想想為什么?
【王永恒提示】:在處理錯(cuò)位排列問題時(shí),無論問恰好貼錯(cuò)還是問恰好貼對(duì),都要從貼錯(cuò)的角度去考慮,這樣處理問題簡(jiǎn)單且不易出錯(cuò)。
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