2011年高等教育自學(xué)考試離散數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)詞

更新時間：2011-05-17 09:24:57 來源：|0

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　　聯(lián)結(jié)詞

　　今后“聯(lián)結(jié)詞”一詞均指邏輯聯(lián)結(jié)詞及其符號表示。重要的聯(lián)結(jié)詞有5個，它們已在例1.2中出現(xiàn)。

　　否定詞(negation)“并非”(not)，用符號┐表示。設(shè)p表示一命題，那么┐p表示命題p的否定。p真時┐p假，而p假時┐p真。┐p讀作“并非p”或“非p”。今后我們用1表示真值“真”，用0表示真值“假”，用類似表1.1的所謂真值表來規(guī)定聯(lián)結(jié)值的意義，描述復(fù)合命題的真值狀況。表1.1規(guī)定了否定詞┐的意義，表示┐p的真值狀況。

　　表1.1

p	┐p
0 1	1 0

　　例1.3 如果p表示命題“雪是白的”，那么“并非雪是白的”、“雪不是白的”應(yīng)表示為┐p，此時┐p為假，因為p為真。

　　當(dāng)用否定詞“并非”代替自然語言中的“不”時(或者反過來)，應(yīng)注意保持原語句的意義。例如p 表示“我們都是好學(xué)生”時，┐p表示“并非我們都是好學(xué)生”或“我們不都是好學(xué)生”，而不是“我們都不是好學(xué)生”。

　　合取詞(conjunction)“并且”(and)，用符號∧表示。設(shè)p，q表示兩命題，那么p∧q表示合取p和q所得的命題，即p和q同時為真時p∧q真，否則p∧q為假。p∧q讀作“p并且q”或“p且q”。

　　合取詞∧的意義和命題p∧q的真值狀況可由表1.2來刻劃。

　　表1.2

p	q	p∧q
0 0 1 1	0 1 0 1	0 0 0 1

　　例1.4 如果p表示命題“你去了學(xué)?！眖表示命題“我去了工廠”，那么p∧q表示命題“你去了學(xué)校并且我去了工廠”。p∧q為真，當(dāng)且僅當(dāng)你、我分別去了學(xué)校和工廠。

　　析取詞(disjunction)“或”(or)用符號∨表示。設(shè)p，q表示兩命題，那么p∨q表示p和q的析取，即當(dāng)p和q有一為真時，p∨q為真，只有當(dāng)p和q均假時p∨q為假。p∨q讀作“p或者q”、“p或q”。

　　析取詞∨的意義及復(fù)合命題p∨q的真值狀況由表1.3描述。

　　表1.3

p	q	p∨q
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 1

　　例1.5 如果p，q分別表示“今晚我看書”和“今晚我去看電影”，那么p∨q表示“今晚我看書或者去看電影”。當(dāng)我于當(dāng)晚看了書，或者看了電影，或者既看了書又看了電影時，p∨q為真，只是在我既不看書也不看電影時p∨q為假。

　　值得注意的是，這里的“或”是所謂可兼的，即當(dāng)p和q均真時，確認(rèn)p∨q為真。在日常生活中，“或”在有的場合下不同于上述意義。例如“人固有一死，或重于泰山，或輕于鴻毛”。其中的“或”是不可兼的，即當(dāng)發(fā)現(xiàn)有人的死既重于泰山又輕于鴻毛時，上述論斷被認(rèn)為假。看來這里的“或”用∨表示不合適，可用表1.4規(guī)定的新聯(lián)結(jié)詞“不可兼或” 表示之。但是，像上述場合一樣的許多場合下，兩個析取命題事實上不可能同時為真，即表1.4的末行根本無需定義，這時用∨代替就沒有問題，并且能使語句的表示簡化。例如“a>0或a=0或a<0”可表示為“a>0∨a=0∨a<0”，而不必多此一舉地表示為“a>0 a=0 a<0”。

　　表1.4

p	q	p q
0 0 1 1	0 1 0 1	0 1 1 0

　　蘊涵詞(implication)“如果……，那么……”(if…then…)，用符號→表示。設(shè)p，q表示兩命題，那么p→q表示命題“如果p，那么q”。當(dāng)p真而q假時，命題p→q為假，否則均認(rèn)為p→q為真。p→q中的p稱為蘊涵前件，q稱為蘊涵后件。p→q的讀法較多，可讀作“如果p則q”，“p蘊涵q”，“p是q的充分條件”，“q是p的必要條件”，“q當(dāng)p”，“p僅當(dāng)q”等等。數(shù)學(xué)中還常把q→p，┐p→┐q，┐q→┐p分別叫做p→q的逆命題，否命題，逆否命題。

　　蘊涵詞→的意義及復(fù)合命題p→q的真值狀況規(guī)定見表1.5.

　　表1.5

p	q	p→q
0 0 1 1	0 1 0 1	1 1 0 1

　　例1.6 如果用p表示“天氣好”，q表示“我去接你”，那么p→q表示命題“如果天氣好，那么我去接你”。當(dāng)天氣好時，我去接了你，這時諾言p→q真;我沒去接你，則諾言p→q假。當(dāng)天氣不好時，我無論去或不去接你均未食言，此時認(rèn)定p→q為真是適當(dāng)?shù)摹?/P>

　　上述規(guī)定的蘊涵詞稱為實質(zhì)蘊涵(substantive implication)，因為它不要求p→q中的p，q有什么關(guān)系，只要p，q為命題，p→q就有意義。例如“如果2+2=5，那么雪是黑的”，就是一個有意義的命題，且據(jù)定義其真值為“真”。蘊涵詞的這種規(guī)定形式，在討論數(shù)學(xué)問題和邏輯問題時是正確的、充分的，但在某些情況下顯得有些不足，為此不少人對其它規(guī)定形式的蘊涵詞有興趣，對此本書不予介紹。

　　雙向蘊涵詞(two-way implication)“當(dāng)且僅當(dāng)”(if and only if)，用符號?表示之。設(shè)p，q為兩命題，那么p?q表示命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，“p與q等價”，即當(dāng)p與q同真值時p?q為真，否則為假。p?q讀作“p雙向蘊涵q”，“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，“p等價于q”。由于“當(dāng)且僅當(dāng)”“等價”常在其它地方使用，因而用第一種讀法更好些。

　　雙向蘊涵詞的意義及p?q的真值狀況由表1.6給出。

　　表1.6

p	q	p«q
0 0 1 1	0 1 0 1	1 0 0 1

　　例1.7 如果p表示命題“△ABC@△A'B'C'”，q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三邊對應(yīng)相等”，那么p?q表示平面幾何中的一個真命題，因為p真時q顯然真，p假時q亦必然假，故p與q同真值。若q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三內(nèi)角對應(yīng)相等”，那么p?q不再是恒真的了，因p假時q未必為假。

　　以上介紹的是五個最常用、最重要的聯(lián)結(jié)詞，自然語言中還有其它聯(lián)結(jié)詞，有的可以直接用它們中的一個來表示，例如“也”等同于“且”，“除非”等同于“當(dāng)且僅當(dāng)”;有的則可以用它們中的若干個來表示，例如“不可兼或”可用∨，∧與┐來表示。

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