2011年高等教育自學(xué)考試離散數(shù)學(xué)聯(lián)結(jié)詞
聯(lián)結(jié)詞
今后“聯(lián)結(jié)詞”一詞均指邏輯聯(lián)結(jié)詞及其符號表示。重要的聯(lián)結(jié)詞有5個,它們已在例1.2中出現(xiàn)。
否定詞(negation)“并非”(not),用符號┐表示。設(shè)p表示一命題,那么┐p表示命題p的否定。p真時┐p假,而p假時┐p真。┐p讀作“并非p”或“非p”。今后我們用1表示真值“真”,用0表示真值“假”,用類似表1.1的所謂真值表來規(guī)定聯(lián)結(jié)值的意義,描述復(fù)合命題的真值狀況。表1.1規(guī)定了否定詞┐的意義,表示┐p的真值狀況。
表1.1
p | ┐p |
0 1 |
1 0 |
例1.3 如果p表示命題“雪是白的”,那么“并非雪是白的”、“雪不是白的”應(yīng)表示為┐p,此時┐p為假,因為p為真。
當(dāng)用否定詞“并非”代替自然語言中的“不”時(或者反過來),應(yīng)注意保持原語句的意義。例如p 表示“我們都是好學(xué)生”時,┐p表示“并非我們都是好學(xué)生”或“我們不都是好學(xué)生”,而不是“我們都不是好學(xué)生”。
合取詞(conjunction)“并且”(and),用符號∧表示。設(shè)p,q表示兩命題,那么p∧q表示合取p和q所得的命題,即p和q同時為真時p∧q真,否則p∧q為假。p∧q讀作“p并且q”或“p且q”。
合取詞∧的意義和命題p∧q的真值狀況可由表1.2來刻劃。
表1.2
p | q | p∧q |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 0 0 1 |
例1.4 如果p表示命題“你去了學(xué)?!眖表示命題“我去了工廠”,那么p∧q表示命題“你去了學(xué)校并且我去了工廠”。p∧q為真,當(dāng)且僅當(dāng)你、我分別去了學(xué)校和工廠。
析取詞(disjunction)“或”(or)用符號∨表示。設(shè)p,q表示兩命題,那么p∨q表示p和q的析取,即當(dāng)p和q有一為真時,p∨q為真,只有當(dāng)p和q均假時p∨q為假。p∨q讀作“p或者q”、“p或q”。
析取詞∨的意義及復(fù)合命題p∨q的真值狀況由表1.3描述。
表1.3
p | q | p∨q |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 1 1 1 |
例1.5 如果p,q分別表示“今晚我看書”和“今晚我去看電影”,那么p∨q表示“今晚我看書或者去看電影”。當(dāng)我于當(dāng)晚看了書,或者看了電影,或者既看了書又看了電影時,p∨q為真,只是在我既不看書也不看電影時p∨q為假。
值得注意的是,這里的“或”是所謂可兼的,即當(dāng)p和q均真時,確認(rèn)p∨q為真。在日常生活中,“或”在有的場合下不同于上述意義。例如“人固有一死,或重于泰山,或輕于鴻毛”。其中的“或”是不可兼的,即當(dāng)發(fā)現(xiàn)有人的死既重于泰山又輕于鴻毛時,上述論斷被認(rèn)為假。看來這里的“或”用∨表示不合適,可用表1.4規(guī)定的新聯(lián)結(jié)詞“不可兼或” 表示之。但是,像上述場合一樣的許多場合下,兩個析取命題事實上不可能同時為真,即表1.4的末行根本無需定義,這時用∨代替 就沒有問題,并且能使語句的表示簡化。例如“a>0或a=0或a<0”可表示為“a>0∨a=0∨a<0”,而不必多此一舉地表示為“a>0 a=0 a<0”。
表1.4
p | q | p q |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
0 1 1 0 |
蘊涵詞(implication)“如果……,那么……”(if…then…),用符號→表示。設(shè)p,q表示兩命題,那么p→q表示命題“如果p,那么q”。當(dāng)p真而q假時,命題p→q為假,否則均認(rèn)為p→q為真。p→q中的p稱為蘊涵前件,q稱為蘊涵后件。p→q的讀法較多,可讀作“如果p則q”,“p蘊涵q”,“p是q的充分條件”,“q是p的必要條件”,“q當(dāng)p”,“p僅當(dāng)q”等等。數(shù)學(xué)中還常把q→p,┐p→┐q,┐q→┐p分別叫做p→q的逆命題,否命題,逆否命題。
蘊涵詞→的意義及復(fù)合命題p→q的真值狀況規(guī)定見表1.5.
表1.5
p | q | p→q |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 1 0 1 |
例1.6 如果用p表示“天氣好”,q表示“我去接你”,那么p→q表示命題“如果天氣好,那么我去接你”。當(dāng)天氣好時,我去接了你,這時諾言p→q真;我沒去接你,則諾言p→q假。當(dāng)天氣不好時,我無論去或不去接你均未食言,此時認(rèn)定p→q為真是適當(dāng)?shù)摹?/P>
上述規(guī)定的蘊涵詞稱為實質(zhì)蘊涵(substantive implication),因為它不要求p→q中的p,q有什么關(guān)系,只要p,q為命題,p→q就有意義。例如“如果2+2=5,那么雪是黑的”,就是一個有意義的命題,且據(jù)定義其真值為“真”。蘊涵詞的這種規(guī)定形式,在討論數(shù)學(xué)問題和邏輯問題時是正確的、充分的,但在某些情況下顯得有些不足,為此不少人對其它規(guī)定形式的蘊涵詞有興趣,對此本書不予介紹。
雙向蘊涵詞(two-way implication)“當(dāng)且僅當(dāng)”(if and only if),用符號?表示之。設(shè)p,q為兩命題,那么p?q表示命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”,“p與q等價”,即當(dāng)p與q同真值時p?q為真,否則為假。p?q讀作“p雙向蘊涵q”,“p當(dāng)且僅當(dāng)q”,“p等價于q”。由于“當(dāng)且僅當(dāng)”“等價”常在其它地方使用,因而用第一種讀法更好些。
雙向蘊涵詞的意義及p?q的真值狀況由表1.6給出。
表1.6
p | q | p«q |
0 0 1 1 |
0 1 0 1 |
1 0 0 1 |
例1.7 如果p表示命題“△ABC@△A'B'C'”,q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三邊對應(yīng)相等”,那么p?q表示平面幾何中的一個真命題,因為p真時q顯然真,p假時q亦必然假,故p與q同真值。若q表示命題“△ABC與△A'B'C'的三內(nèi)角對應(yīng)相等”,那么p?q不再是恒真的了,因p假時q未必為假。
以上介紹的是五個最常用、最重要的聯(lián)結(jié)詞,自然語言中還有其它聯(lián)結(jié)詞,有的可以直接用它們中的一個來表示,例如“也”等同于“且”,“除非”等同于“當(dāng)且僅當(dāng)”;有的則可以用它們中的若干個來表示,例如“不可兼或”可用∨,∧與┐來表示。
更多信息請訪問:自學(xué)考試頻道 自學(xué)考試論壇 自學(xué)考試博客
最新資訊
- 考前必背!自學(xué)考試《中國近現(xiàn)代史綱要》論述題高頻考點2024-10-19
- 自考報考策略:科學(xué)搭配科目,加速畢業(yè)進程2024-07-20
- 2025年考研考生五一假期,英語科目應(yīng)該如何復(fù)習(xí)?2024-05-03
- 備考指南!2024年4月自學(xué)考試考前要做哪些準(zhǔn)備?2024-03-31
- 考前備考沖刺!自考如何一次就過?2024-03-30
- 考點匯總:《中國近現(xiàn)代史綱要》論述題2024-03-25
- 備考資料:《中國近現(xiàn)代史綱要》簡答題考點匯總2024-03-25
- 自考可以從哪些維度進行備考?2024-02-17
- @自考生,這里有備考技巧2024-02-17
- 自學(xué)考試備考復(fù)習(xí)方法!建議收藏2024-02-16