2018水利水電工程師《基礎(chǔ)知識(shí)》：垂直軸定理

一個(gè)平面剛體薄板對(duì)于垂直它的平面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，等于繞平面內(nèi)與垂直軸相交的任意兩正交軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。

表達(dá)式:iz=ix+iy

剛體對(duì)一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可折算成質(zhì)量等于剛體質(zhì)量的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)該軸所形成的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。由此折算所得的質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離 ，稱為剛體繞該軸的回轉(zhuǎn)半徑κ，其公式為 i=mk^2，式中m為剛體質(zhì)量;i為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為l^2m，在si單位制中，它的單位是kg?m^2。

剛體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性由更普遍的慣量張量描述。慣量張量是二階對(duì)稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點(diǎn)任一軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小。

補(bǔ)充對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的詳細(xì)解釋及其物理意義：

先說轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的由來，先從動(dòng)能說起大家都知道動(dòng)能e=(1/2)mv^2，而且動(dòng)能的實(shí)際物理意義是：物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)(選定一個(gè)參考系)運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量，(p勢(shì)能實(shí)際意義則是物體相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的可能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)的實(shí)際能量的大小)。

e=(1/2)mv^2 (v^2為v的2次方)

把v=wr代入上式 (w是角速度,r是半徑，在這里對(duì)任何物體來說是把物體微分化分為無(wú)數(shù)個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)與運(yùn)動(dòng)整體的重心的距離為r,而再把不同質(zhì)點(diǎn)積分化得到實(shí)際等效的r)

得到e=(1/2)m(wr)^2

由于某一個(gè)對(duì)象物體在運(yùn)動(dòng)當(dāng)中的本身屬性m和r都是不變的，所以把關(guān)于m、r的變量用一個(gè)變量k代替, 　　k=mr^2

得到e=(1/2)kw^2 　　k就是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，分析實(shí)際情況中的作用相當(dāng)于牛頓運(yùn)動(dòng)平動(dòng)分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。

這樣分析一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運(yùn)動(dòng)角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問題。

變換一下公式角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)

1、e=(1/2)kw^2本身代表研究對(duì)象的運(yùn)動(dòng)能量

2、之所以用e=(1/2)mv^2不好分析轉(zhuǎn)動(dòng)物體的問題，是因?yàn)槠渲胁话D(zhuǎn)動(dòng)物體的任何轉(zhuǎn)動(dòng)信息。

3、e=(1/2)mv^2除了不包含轉(zhuǎn)動(dòng)信息，而且還不包含體現(xiàn)局部運(yùn)動(dòng)的信息，因?yàn)槔锩娴乃俣葀只代表那個(gè)物體的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)情況。

4、e=(1/2)kw^2之所以利于分析，是因?yàn)榘艘粋€(gè)物體的所有轉(zhuǎn)動(dòng)信息，因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量k=mr^2本身就是一種積分得到的數(shù)，更細(xì)一些講就是綜合了轉(zhuǎn)動(dòng)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)不變的信息的等效結(jié)果k=∑ mr^2 (這里的k和上樓的j一樣)

所以，就是因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從能量的角度分析轉(zhuǎn)動(dòng)問題，就有了價(jià)值。

若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式可寫成k=∑ mr^2=∫r^2dm=∫r^2σdv

其中dv表示dm的體積元，σ表示該處的密度，r表示該體積元到轉(zhuǎn)軸的距離。

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