2014經(jīng)濟(jì)師《中級(jí)經(jīng)濟(jì)基礎(chǔ)》講義：第24章

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　　第二十四章　數(shù)據(jù)特征的測(cè)度

　　對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)特征的測(cè)度的三個(gè)方面：(1)分布的集中趨勢(shì);(2)分布的離散程度;(3)分布的偏態(tài)和峰度。

　　一、集中趨勢(shì)的測(cè)度(三星)

　　集中趨勢(shì)是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，測(cè)度集中趨勢(shì)也就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。

　　(一)眾數(shù)

　　1.含義：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值，用M0表示。

　　2.特點(diǎn)：

　　(1)不僅適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)，也適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。

　　(2)眾數(shù)是一個(gè)位置代表值，不受極端值的影響，抗干擾性強(qiáng)。

　　【教材190頁(yè)例題】一家連鎖超市的10個(gè)分店某月的銷(xiāo)售額(單位：萬(wàn)元)分別為：61 65 73 78 80 80 80 80 96 97，這10個(gè)分店月銷(xiāo)售額的眾數(shù)是多少?

　　【答案】M0=80(萬(wàn)元)

　　【解析】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值。

　　(二)中位數(shù)

　　1.含義：把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序進(jìn)行排列，位置居中的數(shù)值，用Me表示。

　　2.思路：數(shù)據(jù)排序→確定中位數(shù)的位置→確定中位數(shù)的具體數(shù)值

　　3.特點(diǎn)：

　　(1)主要用于順序數(shù)據(jù)，也適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于分類(lèi)數(shù)據(jù)。

　　(2)中位數(shù)也是一個(gè)位置代表值，不受極端值的影響，抗干擾性強(qiáng)。

　　【教材191頁(yè)例題】某地級(jí)市下轄9個(gè)縣，每個(gè)縣的面積如下，計(jì)算中位數(shù)：

　　1455 2019 912 1016 1352 1031 2128 1075 2000

　　【答案】先排序 912 1016 1031 1075 1352 1455 2000 2019 2128

　　中位數(shù)(9+1)/2=5，中位數(shù)1352。

　　【例題-單】(2008)某小學(xué)六年級(jí)8個(gè)班的學(xué)生人數(shù)由少到多依次為34人、34人、34人、34人、36人、36人、37人、37人，其中位數(shù)為( )。

　　A.34

　　B.35

　　C.36

　　D.37

　　【答案】B

　　【解析】個(gè)數(shù)為偶數(shù)，中位數(shù)=(34+36)/2=35。

　　【例題-單】(2011)2010年某省8個(gè)地市的財(cái)政支出(單位：萬(wàn)元)分別為：

　　59000 50002 65602 66450 78000 78000 78000 132100

　　這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是(　)萬(wàn)元。

　　A.78000 78000

　　B.72225 78000

　　C.66450 132100

　　D.75894.25 132100

　　【答案】B

　　【解析】本題考查中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算。把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序進(jìn)行排列，位置居中的數(shù)值叫做中位數(shù)。把題干中的數(shù)據(jù)按順序排列就是50002，59000，65602，66450，78000， 78000，78000，132100。中位數(shù)就是(66450+78000)/2=72225。眾數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻數(shù)最多的那個(gè)數(shù)值，即78000。所以答案是B。

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　　(三)算術(shù)平均數(shù)

　　1.定義：算術(shù)平均數(shù)是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，又稱(chēng)均值，用 表示。

　　2.計(jì)算公式：

簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)	處理未分組的原始數(shù)據(jù)
加權(quán)算術(shù)平均數(shù)	處理經(jīng)分組整理的數(shù)據(jù)	Xi――各組的組中值 fi――各組的頻數(shù) 【小竅門(mén)】組中值*頻率（權(quán)重），再加總

　　3.特點(diǎn)：

　　(1)適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)，但不適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)。

　　(2)算術(shù)平均數(shù)同時(shí)受到兩個(gè)因素的影響：各組數(shù)值的大小、各組分布頻數(shù)的多少。

　　(3)算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響。

　　4.地位：集中趨勢(shì)中最主要的測(cè)度值。

　　【教材191頁(yè)例題】某市商業(yè)企業(yè)協(xié)會(huì)根據(jù)100個(gè)會(huì)員樣本，整理出一年銷(xiāo)售額分布資料(表24-1)，計(jì)算年平均銷(xiāo)售額。

　　【答案】(125×4+175×16+225×40+275×28+325×10+375×2)÷100=240

　　或125×4/100+175×16/100+225×40/100+275×28/100+325×10/100+375×2/100=240

　　【例題-單】(2003)集中趨勢(shì)最主要的測(cè)度值是(　)。

　　A.眾數(shù)

　　B.中位數(shù)

　　C.均值

　　D.幾何平均數(shù)

　　【答案】C

　　【解析】算術(shù)平均數(shù)是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均，又稱(chēng)均值，是集中趨勢(shì)中最主要的測(cè)度值。

　　【例題-多】(2006)對(duì)于經(jīng)分組整理的數(shù)據(jù)，其算術(shù)平均數(shù)會(huì)受到(　)等因素的影響。

　　A.各組數(shù)值的大小

　　B.各組分布頻數(shù)的多少

　　C.組數(shù)

　　D.數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)

　　E. 極端值

　　【答案】ABE

　　【解析】算術(shù)平均數(shù)同時(shí)受到兩個(gè)因素的影響：各組數(shù)值的大小、各組分布頻數(shù)的多少。另外，算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響。

　　【例題-多】(2011)對(duì)分組數(shù)據(jù)計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時(shí)，其平均數(shù)值會(huì)受到(　)等因素的影響。

　　A.組內(nèi)極差

　　B.極端值

　　C.組內(nèi)標(biāo)準(zhǔn)差

　　D.各組數(shù)值大小

　　E.各組頻數(shù)多少

　　【答案】BDE

　　【解析】本題考查算術(shù)平均數(shù)的相關(guān)知識(shí)。計(jì)算和運(yùn)用算術(shù)平均數(shù)須注意：(1)算術(shù)平均數(shù)同時(shí)受到兩個(gè)因素的影響：各組數(shù)值的大小;各組分布頻數(shù)的多少。(2)算術(shù)平均數(shù)易受極端的影響。

　　(四)幾何平均數(shù)

　　1.含義：n個(gè)觀察值連乘積的n次方根就是幾何平均數(shù)。

　　2.公式：

　　3.用途：

　　(1)對(duì)比率、指數(shù)等進(jìn)行平均。

　　(2)計(jì)算平均發(fā)展速度。

　　【總結(jié)】集中趨勢(shì)指標(biāo)特點(diǎn)總結(jié)

　　【例題-單】(2005、2006、2007)下列集中趨勢(shì)中，適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)的是(　)。

　　A.眾數(shù)

　　B.簡(jiǎn)單算數(shù)平均數(shù)

　　C.標(biāo)準(zhǔn)差

　　D.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

　　【答案】A

　　【解析】眾數(shù)不僅適用于品質(zhì)數(shù)據(jù)，也適用于數(shù)值型數(shù)據(jù)。

　　【例題-單】(2008)下列數(shù)據(jù)特征的測(cè)度值中，受極端值影響的是(　)。

　　A.中位數(shù)

　　B.眾數(shù)

　　C.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)

　　D.位置平均數(shù)

　　【答案】C

　　【解析】算術(shù)平均數(shù)易受極端值的影響，所以本題答案是C。

　　【例題-多】(2009)適于測(cè)度順序數(shù)據(jù)的指標(biāo)有(　)。

　　A.離散系數(shù)

　　B. 中位數(shù)

　　C. 眾數(shù)

　　D. 均值

　　E. 標(biāo)準(zhǔn)差

　　【答案】BC

　　【解析】適于測(cè)度順序數(shù)據(jù)的指標(biāo)有：眾數(shù)、中位數(shù)。

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　　二、離散程度的測(cè)度

　　1.定義：離散程度是指數(shù)據(jù)之間的差異程度或頻數(shù)分布的分散程度。集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)一組數(shù)據(jù)的代表程度，取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表性就越差;離散程度越小，其代表性就越好。

　　2.測(cè)度指標(biāo)：主要包括極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。

　　【例題-單】(2010)集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)一組數(shù)據(jù)的代表程度，取決于該組數(shù)據(jù)的離散水平。數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表性(　)。

　　A.越好

　　B.越差

　　C.始終不變

　　D.在一定區(qū)間內(nèi)反復(fù)變化

　　【答案】B

　　【解析】數(shù)據(jù)的離散程度越大，集中趨勢(shì)的測(cè)度值對(duì)該組數(shù)據(jù)的代表性就越差;離散程度越小，其代表性就越好。

　　(一)極差(二星)

　　1.含義：極差是最簡(jiǎn)單的變異指標(biāo)。它就是總體或分布最大的標(biāo)志值與最小的標(biāo)志值之差，又稱(chēng)全距，用R表示。

　　2.公式：

　　3.作用：極差反映的是變量分布的變異范圍或離散幅度，在總體中任何兩個(gè)單位的標(biāo)志值之差都不可能超過(guò)極差。

　　4.特點(diǎn)：僅僅取決于兩個(gè)極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況，同時(shí)易受極端值的影響。

　　【例題-單】(2010)根據(jù)下表所列我國(guó)1998年至2003年人口數(shù)及構(gòu)成情況，1998年至2003年我國(guó)男性人口占年底總?cè)丝诒戎氐臉O差是(　)。

　　A.0.38%

　　B.0.25%

　　C.51.25%

　　D.51.63%

　　【答案】A

　　【解析】男性所占比重的最大值為51.63%，最小值為51.25%，極差=51.63%-51.25%=0.38%。

　　(二)標(biāo)準(zhǔn)差和方差(一星)

　　1.含義：方差是總體所有單位標(biāo)志值與其平均數(shù)離差之平方的平均數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差是方差的平方根，用σ表示。

　　2.地位：應(yīng)用最廣泛的統(tǒng)計(jì)離散程度的測(cè)度方法。

　　3.計(jì)算：(了解)

未整理數(shù)據(jù)	方差 = 標(biāo)準(zhǔn)差=
分組數(shù)據(jù)	方差= 標(biāo)準(zhǔn)差=

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　　(三)離散系數(shù)(標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù))(三星)

　　1.作用：極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)值。為消除變量值水平高低和計(jì)量單位不同對(duì)離散程度測(cè)度值的影響，需要計(jì)算離散系數(shù)。用于比較對(duì)不同組別數(shù)據(jù)的離散程度。離散系數(shù)大的說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度也就大，離散系數(shù)小的說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度也就小。

　　2.計(jì)算：一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的算術(shù)平均數(shù)之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)，用表示。

　　【例題-單】(2004)某學(xué)校學(xué)生的平均年齡為20歲，標(biāo)準(zhǔn)差為3歲;該校教師的平均年齡為38歲，標(biāo)準(zhǔn)差為3 歲。比較該校學(xué)生年齡和教師年齡的離散程度，則(　)。

　　A.學(xué)生年齡和教師年齡的離散程度相同

　　B.教師年齡的離散程度大一些

　　C.教師年齡的離散程度是學(xué)生年齡離散程度的1.9倍

　　D.學(xué)生年齡的離散程度大一些

　　【答案】D

　　【解析】平均值不同的情況下，用離散系數(shù)比較離散程度。學(xué)生年齡的離散系數(shù)=3/20*100%=15%。教師年齡的離散系數(shù)=3/38*100%=7.89%。離散系數(shù)大的說(shuō)明數(shù)據(jù)的離散程度就大。

　　【例題-單】(2008)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的(　)之比。

　　A.算術(shù)平均數(shù)

　　B.極值

　　C.眾數(shù)

　　D.幾何平均數(shù)

　　【答案】A

　　【解析】離散系數(shù)也稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其相應(yīng)的算術(shù)平均數(shù)之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)。

　　【例題-單】(2011)下列離散程度的測(cè)度值中，能夠消除變量值水平和計(jì)量單位對(duì)測(cè)度值影響的是(　)。

　　A.標(biāo)準(zhǔn)差

　　B.離散系數(shù)

　　C.方差

　　D.極差

　　【答案】B

　　【解析】本題考查離散系數(shù)的相關(guān)內(nèi)容。離散系數(shù)可以消除變量值水平和計(jì)量單位不同對(duì)離散程度測(cè)度值的影響。

　　【總結(jié)】集中趨勢(shì)、離散趨勢(shì)指標(biāo)特點(diǎn)總結(jié)

　　【例題-單】(2009)離散系數(shù)比標(biāo)準(zhǔn)差更適用于比較兩組數(shù)據(jù)的離散程度，這是因?yàn)殡x散系數(shù)(　)。

　　A.不受極端值的影響

　　B.不受數(shù)據(jù)差異程度的影響

　　C.不受變量值水平或計(jì)量單位的影響

　　D.計(jì)算更簡(jiǎn)單

　　【答案】C

　　【解析】極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)值。為消除變量值水平高低和計(jì)量單位不同對(duì)離散程度測(cè)度值的影響，需要計(jì)算離散系數(shù)。用于比較對(duì)不同組別數(shù)據(jù)的離散程度。

　　【例題-多】(2010)數(shù)值型數(shù)據(jù)離散程度的測(cè)度指標(biāo)有(　)。

　　A.中位數(shù)

　　B.幾何平均數(shù)

　　C.極差

　　D.標(biāo)準(zhǔn)差

　　E.方差

　　【答案】CDE

　　【解析】極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)值，適于測(cè)度數(shù)值型數(shù)據(jù)的離散程度。

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