巖土工程師基礎(chǔ)考試：不定積分

　　不定積分

　　設(shè)F(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，我們把函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)F(x)+C(C為任意常數(shù))叫做函數(shù)f(x)的不定積分，記作，即∫f(x)dx=F(x)+C.

　　其中∫叫做積分號(hào)，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式，C叫做積分常數(shù)，求已知函數(shù)的不定積分的過(guò)程叫做對(duì)這個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分.

　　由定義可知：

　　求函數(shù)f(x)的不定積分，就是要求出f(x)的所有的原函數(shù)，由原函數(shù)的性質(zhì)可知，只要求出函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，再加上任意的常數(shù)C，就得到函數(shù)f(x)的不定積分.

　　總體來(lái)說(shuō)定積分和不定積分的計(jì)算對(duì)象是不同的

　　所以他們才有那么大的區(qū)別

　　不同：

　　不定積分 定積分

　　定義： 原函數(shù)族 分割、近似求和、取極限

　　“輸入”： 函數(shù)f 函數(shù)f 及積分上下限a,b

　　“輸出”結(jié)果 原函數(shù)族 實(shí)數(shù)(定積分值)

　　(包含積分常數(shù))

　　相通：

　　1 變上限積分函數(shù)(即定積分值隨上限變化產(chǎn)生的函數(shù))即為一個(gè)原函數(shù)(加上積分常數(shù)后即為不定積分)

　　有些函數(shù)(如e^(-x^2))的原函數(shù)不是初等函數(shù)，也就是說(shuō)不定積分寫(xiě)不出來(lái)。但是其定積分可以通過(guò)某些手段求得或近似求得，此時(shí)可以近似得用定積分的結(jié)果來(lái)計(jì)算原函數(shù)的某些性質(zhì)，如增減性、極值、圖像等等。

　　2 (牛頓-萊布尼茨公式): 定積分的值可以表示為函數(shù)的任意一個(gè)原函數(shù)(可以通過(guò)不定積分來(lái)求解)在積分上下限的函數(shù)值之差。

　　由于這個(gè)公式的存在，我們一般是通過(guò)計(jì)算不定積分的結(jié)果來(lái)計(jì)算定積分的。

　　3 兩種積分的存在性是相同的。由于不定積分的存在性較難討論，我們一般是通過(guò)被積函數(shù)在任意區(qū)間上的定積分是否存在來(lái)討論函數(shù)是否“可積”的。

　　定積分確切的說(shuō)是一個(gè)數(shù),或者說(shuō)是關(guān)于積分上下限的二元函數(shù),也可以成為二元運(yùn)算,可以這樣理解∫[a,b]f(x)dx=a*b,其中*即為積分運(yùn)算(可以類(lèi)比簡(jiǎn)單的加減運(yùn)算,只不過(guò)這時(shí)定義的法則不一樣,加減運(yùn)算是把二維空間的點(diǎn)映射到一維空間上一個(gè)確定的點(diǎn),定積分也一樣,只不過(guò)二者的法則不一樣);

　　不定積分也可以看成是一種運(yùn)算,但最后的結(jié)果不是一個(gè)數(shù),而是一類(lèi)函數(shù)的集合.

　　對(duì)于可積函數(shù)(原函數(shù)是初等函數(shù))存在一個(gè)非常美妙的公式

　　∫[a,b]f(x)dx=F(b)-F(a)

　　其中F'(x)=f(x)或∫f(x)dx=F(x)+c

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