巖土工程師基礎(chǔ)考試：二重積分

　　設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)定義在有界閉區(qū)域D上,將區(qū)域D任意分成n個(gè)子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi表示第i個(gè)子域的面積.在Δδi上任取一點(diǎn)(ξi,ηi),作和lim n→+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果當(dāng)各個(gè)子域的直徑中的最大值λ趨于零時(shí),此和式的極限存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即

　　∫∫f(x,y)dδ=lim n→+∞ (Σf(ξi,ηi)Δδi)

　　這時(shí),稱f(x,y)在D上可積,其中f(x,y)稱被積函數(shù),f(x,y)dδ稱為被積表達(dá)式,dδ稱為面積元素, D稱為積分域,∫∫稱為二重積分號(hào).

　　同時(shí)二重積分有著廣泛的應(yīng)用，可以用來(lái)計(jì)算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，平面薄片對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力等等。此外二重積分在實(shí)際生活，比如無(wú)線電中也被廣泛應(yīng)用。

　　性質(zhì)1 (積分可加性) 函數(shù)和(差)的二重積分等于各函數(shù)二重積分的和(差)，即

　　∫∫[f(x,y)±g(x,y)]dσ=∫∫f(x,y)dσ±∫∫g(x,y)dσ

　　性質(zhì)2 (積分滿足數(shù)成) 被積函數(shù)的常系數(shù)因子可以提到積分號(hào)外，即

　　∫∫kf(x,y)dσ=k∫∫f(x,y)dσ (k為常數(shù))

　　性質(zhì)

　　性質(zhì)1與性質(zhì)2合稱為積分的線性性。

　　性質(zhì)3 如果在區(qū)域D上有f(x,y)ㄑg(x,y),則∫∫f(x,y)dσㄑ∫∫g(x,y)dσ

　　推論 ㄏ∫∫f(x,y)dσㄏㄑ∫∫ㄏg(x,y)ㄏdσ

　　性質(zhì)4 設(shè)M和m分別是函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上的最大值和最小值，σ為區(qū)域D的面積，

　　則mσㄑ∫∫f(x,y)dσㄑMσ

　　性質(zhì)5 如果在有界閉區(qū)域D上f(x,y)=1, σ為D的面積，則Sσ=∫∫dσ

　　性質(zhì)6 二重積分中值定理

　　設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)間D上連續(xù)，σ為區(qū)域的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)(ξ，η)，使得

　　∫∫f(x,y)dσ=f(ξ，η)●σ

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