公務(wù)員考試行測(cè)全面復(fù)習(xí)資料：數(shù)學(xué)運(yùn)算

1.數(shù)的拆分：

　　數(shù)的拆分問題是公務(wù)員考試?？嫉念}型之一，考察對(duì)數(shù)的基本特性的掌握，通常此類問題都比較靈活。一般來說此類問題整體難度不大，不過像考試中常用的代入法等在此將不再實(shí)用，故掌握方法就變得特別重要。下面我們就和大家分享幾種常用的解決此類問題的方法。

　　1．分解因式型：就是把一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。運(yùn)用此方法解題首先要熟練掌握如何分解質(zhì)因數(shù)，還要靈活組合這些質(zhì)因數(shù)來達(dá)到解題的目的。

　　例題1：.三個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和為 ，則a=（ ）

　　A.68 B.83 C.95 D.131

　　解析：將231分解質(zhì)因數(shù)得231=3×7×11，則 + + = ，故a=131。

　　例題2. 四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的積為3024，它們的和為（ ）

　　A．26 B.52 C.30 D.28

　　解析：分解質(zhì)因數(shù)：3024=2×2×2×2×3×3×3×7=6×7×8×9，所以四個(gè)連續(xù)的四個(gè)自然數(shù)的和為6+7+8+9=30。

　　2．已知某幾個(gè)數(shù)的和，求積的最大值型：

　　基本原理：a2+b2ㄒ2ab，（a，b都大于0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號(hào)）

　　推 論：a+b=K（常數(shù)），且a，b都大于0，那么abㄑ（（a+b）/2）2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號(hào)。此結(jié)論可以推廣到多個(gè)數(shù)的和為定值的情況。

　　例題1：3個(gè)自然數(shù)之和為14，它們的的乘積的最大值為（ ）

　　A.42 B.84 C.100 D.120

　　解析：若使乘積最大，應(yīng)把14拆分為5+5+4，則積的最大值為5×5×4=100。也就是說，當(dāng)不能滿足拆分的數(shù)相等的情況下，就要求拆分的數(shù)之間的差異應(yīng)該盡量的小，這樣它們的乘積才能最大，這是做此類問題的指導(dǎo)思想。下面再舉一列大家可以自己體會(huì).

　　例題2：將17拆分成若干個(gè)自然數(shù)的和，這些自然數(shù)的乘積的最大值為（ ）

　　A.256 B.486 C.556 D.376

　　解析：將17拆分為17=3+3+3+3+3+2時(shí)，其乘積最大，最大值為 ×2=486。

　　3. 排列組合型: 運(yùn)用排列組合知識(shí)解決數(shù)的分解問題。要求對(duì)排列組合有較深刻的理解，才能達(dá)到靈活運(yùn)用的目的

　　例題1.：有多少種方法可以把100表示為（有順序的）3個(gè)自然數(shù)之和？（ ）

　　A.4851 B.1000 C.256 D.10000

　　解析：插板法：100可以想象為100個(gè)1相加的形式，現(xiàn)在我們要把這100個(gè)1分成3份，那么就相等于在這100個(gè)1內(nèi)部形成的99個(gè)空中，任意插入兩個(gè)板，這樣就把它們分成了兩個(gè)部分。而從99個(gè)空任意選出兩個(gè)空的選法有：C992=99×98/2=4851（種）；故選A。

　　(注：此題沒有考慮0已經(jīng)劃入自然數(shù)范疇，如果選項(xiàng)中出現(xiàn)把0考慮進(jìn)去的選項(xiàng)，建議選擇考慮0的那個(gè)選項(xiàng)。)

　　例題2. 學(xué)校準(zhǔn)備了1152塊正方形彩板，用它們拼成一個(gè)長方形，有多少種不同的拼法？

　　A.1152 B.384 C.28 D.12

　　解析：本題實(shí)際上是想把1152分解成兩個(gè)數(shù)的積。

　　解法一：1152=1×1152=2×576=3×384=4×288=6×192=8×144=9×128=12×96=16×72=18×64=24×48=32×36，故有12種不同的拼法。

　　解法二：1152= ，用排列組合方法：我們現(xiàn)在就是要把這7個(gè)“2”和兩個(gè)“3”分成兩部分，每種分配方法對(duì)應(yīng)一種拼法。具體地：

　　1） 當(dāng)兩個(gè)“3”不挨著時(shí)，有4種分配方法，即：（3，3× ）、（3×2，3× ）、（ ）

　?。?nbsp;）

　　2） 當(dāng)兩個(gè)“3”挨著時(shí)，有8種分配方法；略。

　　故共有：8+4=12種，

　　這里我們只討論了數(shù)的拆分的幾種比較常見的類型及其解題思想，但此類問題決不僅僅局限于此，我們會(huì)在以后陸續(xù)補(bǔ)充完善。

　　2.平均數(shù)問題

　　這里的平均數(shù)是指算術(shù)平均數(shù)，就是n個(gè)數(shù)的和被個(gè)數(shù)n除所得的商，這里的n大于或等于2。

　　通常把與兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)的算術(shù)平均數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題，叫做平均數(shù)問題。

　　平均數(shù)應(yīng)用題的基本數(shù)量關(guān)系是：

　　總數(shù)量和÷總份數(shù)=平均數(shù)

　　平均數(shù)×總份數(shù)=總數(shù)量和

　　總數(shù)量和÷平均數(shù)=總份數(shù)

　　解答平均數(shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵在于確定“總數(shù)量”以及和總數(shù)量對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。

　　例1：在前面3場(chǎng)擊球游戲中，某人的得分分別為130、143、144。為使4場(chǎng)游戲得分的平均數(shù)為145，第四場(chǎng)他應(yīng)得多少分？（ ）

　　【答案】163分。解析：4場(chǎng)游戲得分平均數(shù)為145，則總分為145×4=580，故第四場(chǎng)應(yīng)的580－130－143－144=163分。

　　例2：李明家在山上，爺爺家在山下，李明從家出發(fā)一每分鐘90米的速度走了10分鐘到了爺爺家?；貋頃r(shí)走了15分鐘到家，則李明往返平均速度是多少？（ ）

　　A.72米/分 B.80米/分 C.84米/分 D90米/分

　　【答案】A。解析：李明往返的總路程是90×10×2=1800（米），總時(shí)間為10+15=25分鐘，則他的平均速度為1800÷25=72米/分。

　　3. 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題

　　公約數(shù)與公倍數(shù)的概念

　　公約數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。

　　公倍數(shù)：幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)大于零的公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。

　　最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題在日常生活中的應(yīng)用非常廣泛，故而成為公務(wù)員考試中比較常見的題型。這類問題一旦真正理解，計(jì)算起來相對(duì)簡(jiǎn)單。下面通過例題來加深大家對(duì)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)概念的理解。

　　例題1：

　　有兩個(gè)兩位數(shù)，這兩個(gè)兩位數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和是91，最小公倍數(shù)是最大公約數(shù)的12倍，求這較大的數(shù)是多少？

　　A.42 B.38 C.36 D.28

　　【答案】D。解析：這道例題非常清晰的點(diǎn)明了主旨，就是最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)問題，那么我們可以根據(jù)定義來解決。這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是91÷（12+1）=7，最小公倍數(shù)是7×12=84，故兩數(shù)應(yīng)為21和28。

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  　　例題2：
  
  　　三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米、300厘米，現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每段都不能有剩余，那么最少可截成多少段？
  
  　　A.8 B.9 C.10 D.11
  
  　　【答案】C。解析：這道例題中隱含了最大公約數(shù)的關(guān)系。“截成相等的小段”，即為求三數(shù)的公約數(shù)，“最少可截成多少段”，即為求最大公約數(shù)。每小段的長度是120、180、300的約數(shù)，也是120、180和300的公約數(shù)。120、180和300的最大公約數(shù)是60，所以每小段的長度最大是60厘米，一共可截成120÷60+180÷60+300÷60=10段。
  
  　　4.數(shù)的整除特性
  
  　　關(guān)于數(shù)的整除特性，中公教育的教材上講的已經(jīng)很詳細(xì)了，但是還是不斷有學(xué)員問相關(guān)的題型，看來大家還是不能夠完全把握此類規(guī)律。我在這里做個(gè)表格，方便大家的理解和記憶。
  
  　　可以被整除的數(shù)字 特性
  
  　　2 偶數(shù)
  
  　　3 每位數(shù)字相加的和是3的倍數(shù)
  
  　　4 末兩位是4的倍數(shù)
  
  　　5 末位數(shù)字是0或者5
  
  　　6 能同時(shí)被2和3整除
  
  　　7 末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠鼙?整除
  
  　　8 末三位是8的倍數(shù)
  
  　　9 每位數(shù)字相加的和是9的倍數(shù)
  
  　　10 末位數(shù)字是0
  
  　　11 1,奇數(shù)位置上的數(shù)字和與偶數(shù)位置上的數(shù)字和之間的差(以大減小)是能被11整除
  
  　　2,任何一個(gè)三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)
  
  　　3，末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠鼙?1整除
  
  　　12 能同時(shí)被3和4整除
  
  　　13 末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減小）能被13整除
  
  　　25 末兩位數(shù)是25的倍數(shù)
  
  　　125 末三位是125的倍數(shù)
  
  　　5. 空瓶問題
  
  　　公務(wù)員考試中的數(shù)學(xué)運(yùn)算中經(jīng)常出現(xiàn)“空瓶換水的問題”有的考生由于抓不住此類問題的關(guān)鍵，解題時(shí)往往不夠準(zhǔn)確和迅速。在空瓶換水這類題目中往往都有這樣的字眼：幾個(gè)空瓶換一瓶飲料。這就是題目的關(guān)鍵所在，它告訴了我們多少空瓶可以換一個(gè)瓶子中的飲料。還有些題目將這個(gè)換為的未知的，解題的思路依然不變?？磶讉€(gè)例題：
  
  　　例1.如果4個(gè)礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水，現(xiàn)有15個(gè)礦泉水空瓶，不交錢最多可以喝礦泉水：
  
  　　A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶
  
  　　解：由題意：3個(gè)空瓶相當(dāng)于一個(gè)瓶子中的礦泉水，顯然選C。
  
  　　例2.6個(gè)空瓶可以換一瓶汽水，某班同學(xué)喝了157瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的，那么他們至少要買多少瓶汽水？
  
  　　A．131 B．130 C．128 D．127
  
  　　解：5個(gè)空瓶相當(dāng)于一個(gè)瓶子中的水，代入算得A符合題意。
  
  　　例3.冷飲店規(guī)定一定數(shù)量的汽水空瓶可換原裝汽水1瓶，旅游團(tuán)110個(gè)旅客集中到冷飲店每人購買了1瓶汽水，他們每喝完一定數(shù)量的汽水就用空瓶去換1瓶原裝汽水，這樣他們一共喝了125瓶汽水，則冷飲店規(guī)定幾個(gè)空瓶換1瓶原裝汽水？
  
  　　A.8 B.9 C.10 D.11
  
  　　解：用代入法檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)比較快的能得出答案。8個(gè)空瓶換一瓶水就相當(dāng)于7個(gè)空瓶子換一個(gè)瓶子中的水。
  
  　　6.方隊(duì)人數(shù)問題
  
  　　學(xué)生排隊(duì)，士兵列隊(duì)，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數(shù)與列數(shù)相等，則剛好排成一個(gè)正方形，這種隊(duì)形就叫方隊(duì)，也叫做方陣。要求方陣的人數(shù)關(guān)鍵是要準(zhǔn)確把握方陣問題的核心公式：
  
  　　1：方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方。
  
  　　2：方陣最外層每邊人數(shù)=（方陣最外層總?cè)藬?shù)的四分之一再加1。
  
  　　3：方陣外一層總?cè)藬?shù)比內(nèi)一層人數(shù)多8.
  
  　　4：去掉一行、一列的總?cè)藬?shù)=去掉的每邊人數(shù)的2倍減去1。
  
  　　7.不定方程
  
  　　在大家不斷的做題中，總會(huì)碰到這樣一些詞語“至多”，“至少”這些關(guān)鍵詞，由這些關(guān)鍵詞語組成的問題我們就叫不定問題，不定問題的一個(gè)重要思維就是不定方程，通過列不定方程來把這些不確定的關(guān)鍵詞數(shù)學(xué)化，數(shù)量化。
  
  　　.例1：今有桃95個(gè)，分給甲、乙兩個(gè)工作組的工人吃，甲組分到的桃有 是壞的，其他是好的，乙組分到的桃有 是壞的，其他是好的。甲、乙兩組分到的好桃共有（ ）個(gè)
  
  　　A.63 B.75 C.79 D.86
  
  　　【答案】B。解析：甲組分到的桃是9的倍數(shù)，乙組分到的桃是16的倍數(shù)，故9m+16n=95，解得m=7，n=2，即甲組分到桃9×7=63個(gè)，乙組分到桃16×2=32個(gè)。兩組共分到好桃63×（1－ ）+32×（1－ ）=75個(gè)。
  
  　　例2：甲、乙、丙三人去買書，他們買書的本數(shù)都是兩位數(shù)字，且甲買的書最多，丙買的書最少，又知這些書的總和是偶數(shù)，他們的積是3960，那么乙最多買多少本書？（ ）
  
  　　A.18 B.17 C.16 D.15
  
  　　【答案】A。解析：設(shè)甲、乙、丙分別買書x本、y本、z本，則（x+y+z）是偶數(shù)，可知x、y、z或者都是偶數(shù)，或者兩奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，x×y×z=3960=23×32×5×11，若x、y、z都是偶數(shù)，則分別為2×11=22，2×32=18，2×5=10；若x、y、z是兩奇一偶，則分別為23×3=24，3×5=15，11。故乙最多買18本。
  
  　　8.栽樹問題
  
  　　一般來說栽樹問題有兩類：一類是不封閉的路線，如在馬路兩邊植樹；另一類是封閉的路線，如在正方形操場(chǎng)邊上植樹。下面就這兩類情況分別予以介紹。
  
  　　首先要注意的是栽樹問題要明確三要素：1、總路線長；2、間距（棵距）長；3、棵數(shù)。只要知道其中任意兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)。
  
  　　一、直線路線
  
  　　比如題目要求在馬路一旁栽1排樹，并且在線路兩端都要植樹，則棵數(shù)要比段數(shù)多1。全長、棵數(shù)、株距三者之間的關(guān)系是：
  
  　　棵數(shù)= 段數(shù)+1=全長÷株距+1；
  
  　　全長= 株距×（棵數(shù)-1）；
  
  　　株距= 全長÷（棵數(shù)-1）
  
  　　例1、（2006國家行測(cè)）為把2008年北京奧運(yùn)會(huì)辦成綠色奧運(yùn)，全國各地都在加強(qiáng)環(huán)保，植樹造林，某單位計(jì)劃在通往兩個(gè)比賽場(chǎng)館的兩條路(不相交)兩旁栽上樹，現(xiàn)運(yùn)回一批樹苗，已知一條路的長度是另一條路長度的兩倍還多6000米。若每隔4米栽一棵則少2754棵；若每隔5米栽一棵,則多396棵，則共有樹苗( )。
  
  　　A.8500棵 B.12500棵 C.12596棵 D.13000棵
  
  　　解析：設(shè)兩條路共有樹苗x棵，根據(jù)栽樹原理總?cè)L是不變的，所以結(jié)合上面給出的公式可以根據(jù)路程相等列方程：(x＋2754 －4)×4 = (x－396－4)×5。
  
  　　注意：因?yàn)槭?條馬路兩邊都要栽樹，因此共有4排，所以要減4。
  
  　　解得x=13000.
  
  　　二、封閉路線
  
  　　封閉路線只需掌握公式：棵數(shù) = 段數(shù) = 周長÷株距
  
  　　例2、正方形操場(chǎng)四周栽了一圈樹，每?jī)煽脴湎喔?米。甲、乙從一個(gè)角上同時(shí)出發(fā)，向不同的方向走去（如圖），甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹與甲相遇。操場(chǎng)四周栽了多少棵樹？
  
  　　A 45 B 60 C 90 D 80
  
  　　解析：方法一：如果按我們之前沒有介紹封閉路線的解法時(shí)的思路是這樣解得，設(shè)每條邊有樹x棵，則根據(jù)題意得 2×[5(x-1)+5×5]=3×5（x-1）-25,解得x=16。
  
  　　故總共有16×2＋14×2=60棵樹。選B。
  
  　　方法二：由于速度比等于路程比，由提意甲速是乙速，故在乙拐了一個(gè)彎之后的第5棵樹乙走了5×5=25米，在這條邊上甲走了50米，因此正方形的邊長為25＋50=75；
  
  　　利用封閉路線的公式，由于正方形是閉合曲線，所以有樹75×4÷5=60。
  
  　　9.年齡問題
  
  　　年齡問題是日常生活中一種十分常見的問題，也是公務(wù)員考試數(shù)學(xué)運(yùn)算部分中的常見題型。它的主要特點(diǎn)是：時(shí)間發(fā)生變化，年齡在增長，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是“和差”、“差倍”等問題的綜合應(yīng)用。解題時(shí)，我們一定要抓住年齡差不變這個(gè)解題關(guān)鍵。
  
  　　解答年齡問題的一般方法：
  
  　　幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差－小年齡
  
  　　幾年前的年齡=小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差
  
  　　方程法解年齡問題
  
  　　熟練掌握了年齡關(guān)系之后，便可設(shè)所求為未知數(shù)，利用上述關(guān)系列方程求解。
  
  　　例1：
  
  　　爸爸、哥哥、妹妹現(xiàn)在的年齡和是64歲。當(dāng)爸爸的年齡是哥哥的3倍時(shí)，妹妹是9歲；當(dāng)哥哥的年齡是妹妹的2倍時(shí)，爸爸34歲。現(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？
  
  　　A．34 B．39 C．40 D．42
  
  　　【答案】C。解析：解法一：用代入法逐項(xiàng)代入驗(yàn)證。解法二，利用“年齡差”是不變的，列方程求解。設(shè)爸爸、哥哥和妹妹的現(xiàn)在年齡分別為：x、y和z。那么可得下列三元一次方程：x+y+z=64；x-(z-9)=3[y-(z-9)]；y-(x-34)=2[z-(x-34)]?？汕蟮脁=40。
  
  　　例2：
  
  　　1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?
  
  　　A．34歲，12歲 B．32歲，8歲 C．36歲，12歲 D．34歲，10歲
  
  　　【答案】C。解析：抓住年齡問題的關(guān)鍵即年齡差，1998年甲的年齡是乙的年齡的4倍，則甲乙的年齡差為3倍乙的年齡，2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍，此時(shí)甲乙的年齡差為2倍乙的年齡，根據(jù)年齡差不變可得
  
  　　3×1998年乙的年齡=2×2002年乙的年齡
  
  　　3×1998年乙的年齡=2×（1998年乙的年齡+4）
  
  　　1998年乙的年齡=4歲
  
  　　則2000年乙的年齡為10歲。
  
  　　巧用年齡差求解
  
  　　年齡問題中不管涉及的是多少年前還是多少年后的年齡，唯一不變的是年齡差。所以用年齡差來做運(yùn)算過程中的基準(zhǔn)量便可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算過程。如果能深刻理解年齡差的作用，在面對(duì)年齡問題時(shí)，更可以瞬間找到切入點(diǎn)。如下題：
  
  　　10年前吳昊的年齡是他兒子年齡的7倍，15年后，吳昊的年齡是他兒子的2倍。則現(xiàn)在吳昊的年齡是多少歲？（ ）
  
  　　A.45 B.50 C.55 D.60
  
  　　解析：由“15年后，吳昊的年齡是他兒子的2倍”可知，15年后，吳昊兒子的年齡即為2人的年齡差。那么10年前吳昊兒子的年齡為1÷（7－1）= 個(gè)年齡差，故10+15=25年，即為1－ = 個(gè)年齡差，年齡差為25÷ =30年。所以吳昊今年的年齡為30×2－15=45歲。在這道題中年齡差成了一個(gè)衡量年齡的基準(zhǔn)量，用它來代表各個(gè)人物各時(shí)期的年齡，不但簡(jiǎn)化了計(jì)算過程、不易出錯(cuò)，更使得題目容易理解。

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  　　10. 奇數(shù)和偶數(shù)
  
  　　奇數(shù)：不能被2整除的整數(shù)；
  
  　　偶數(shù)：能被2整除的整數(shù)，這里要注意零也是整數(shù)。
  
  　　性質(zhì)1：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)
  
  　　性質(zhì)2：偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)
  
  　　性質(zhì)3：奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)
  
  　　性質(zhì)4：奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)
  
  　　性質(zhì)5：奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)
  
  　　例題1、10個(gè)連續(xù)自然數(shù)，其中的奇數(shù)之和為85，在這10個(gè)連續(xù)自然數(shù)中，是3的倍數(shù)的數(shù)字之和為多少？
  
  　　解析：奇數(shù)之和為85，總共有5項(xiàng)，那么中間哪個(gè)數(shù)就為17，可以知道這5個(gè)奇數(shù)為13，15，17，19，21；由次可知這10個(gè)數(shù)可能為12-21和13-22，由于要3的倍數(shù)的數(shù)字之和最大，那么只可以是12+15+18+21=66。
  
  　　例題2、書店有單價(jià)為10分，15分，25分，40分的四種賀年卡，小華花了幾張一元錢，正好買了30張，其中某兩種各5張，另兩種各10張，問小華買賀年卡花去多少錢？
  
  　　解析：設(shè)買的賀年卡分別為 張，用去 張1元的人民幣，依題意有 + =100 ，（ 為整數(shù)）即 顯然 具有相同的奇偶性，若同為偶數(shù)， 和 ， = 不是整數(shù)；若同為奇數(shù)， 和 。
  
  　　11．公約數(shù)和公倍數(shù)
  
  　　主要考點(diǎn)：
  
  　　最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的題一般不是很難，只要我們仔細(xì)的閱讀題，都可以做出來，這種題往往和日期（星期幾）問題聯(lián)系在一起，所以我們也要學(xué)會(huì)求余。特別指出的是，它們是公考中考試的熱點(diǎn)，在考試中出現(xiàn)的概率很大。
  
  　　最大公約數(shù)：如果一個(gè)自然數(shù) 能被自然數(shù) 整除，則稱 為 的約數(shù)，幾個(gè)自然數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公約數(shù)。公約數(shù)中最大的一個(gè)公約數(shù)，稱為這幾個(gè)自然數(shù)的最大公約數(shù)。
  
  　　最小公倍數(shù)：如果一個(gè)自然數(shù) 能被自然數(shù) 整除，則稱 為 的倍數(shù)，幾個(gè)自然數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)自然數(shù)的公倍數(shù)。公倍數(shù)中最小的一個(gè)大于0的公倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1、三位采購員定期去某商店，小王每隔9天去一次，大劉每隔11天去一次，老楊每隔7天去一次，三熱年星期二第一次在商店相會(huì)，下次相會(huì)是星期幾？
  
  　　A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期四
  
  　　解析：這道題不難，但要注意審題，看上去好象是9，11，7的最小公倍數(shù)問題，但這里有個(gè)關(guān)鍵詞“每隔”，每隔9天，其實(shí)已過了10天，所以要求的是10，12，8的最小公倍數(shù)，它們的公倍數(shù)為120，120÷7=17余1，所以下一次相會(huì)是在星期三。
  
  　　2、自然數(shù)P滿足下列條件：P除以10的余數(shù)為9，除以9的余數(shù)為8，除以8的余數(shù)為7。如果100＜P＜1000，則這樣的P有幾個(gè)？
  
  　　A．不存在 B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)
  
  　　解析：P除以10的余數(shù)為9，那么P+1是10的倍數(shù)；
  
  　　P除以9的余數(shù)為8，那么P+1是9的倍數(shù)；
  
  　　P除以8的余數(shù)為7，那么P+1是8的倍數(shù)；
  
  　　所以，P+1是10，9，8的公倍數(shù)，10，9，8的最小公倍數(shù)為360，則在100到1000中這樣的P+1共有2個(gè)，及360，720。
  
  　　12. 重復(fù)數(shù)字的因式分解
  
  　　【主要考點(diǎn)】
  
  　　核心提示：重復(fù)數(shù)字的因式分解在公考中是一個(gè)重要考點(diǎn)，這個(gè)考點(diǎn)是建立在數(shù)字構(gòu)造具有一定規(guī)律和特點(diǎn)的基礎(chǔ)上的。
  
  　　例如：2424=24×101，101101=101×1001，2230223=22302230/10=2230×10001/10=223×10001。這些在數(shù)字構(gòu)造上具有一定特點(diǎn)的數(shù)字都可以變換成因式相乘的形式。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1．2002×20032003-2003×20022002=?
  
  　　原式=2002×2003×10001-2003×2002×10001=0
  
  　　2.9039030÷43043=?
  
  　　原式=903×1001×10÷（43×1001）=210
  
  　　3.37373737÷81818181=？
  
  　　原式=（37×1010101）÷（81×1010101）=37/81
  
  　　13.整體代換法
  
  　　【主要考點(diǎn)】
  
  　　這類計(jì)算題先不要急于去計(jì)算出具體結(jié)果，先觀察所求的式子，盡量多的找出其中的同類項(xiàng)，把同類項(xiàng)做為一個(gè)整體參量計(jì)算，最后在計(jì)算具體結(jié)果，這樣便能省去不少計(jì)算量。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1． 為多少？
  
  　　分析：這道題，如果我們直接算的話會(huì)很煩瑣，展開式的項(xiàng)數(shù)太多，增加計(jì)算量，先觀察沒項(xiàng)的相同部分，可知為 ，令 = ，令分式 = ，這樣原式就簡(jiǎn)化為 ，這樣來計(jì)算就簡(jiǎn)便多了。
  
  　　14.裂項(xiàng)相消法
  
  　　【主要考點(diǎn)】
  
  　　我們來看這樣一個(gè)式子
  
  　　對(duì)于這樣一個(gè)式子 =，如果我們用一般方法來算，肯定是會(huì)很復(fù)雜，那么我們來觀察一下 ，它是不是可以寫成 ，如果當(dāng)分母上的兩個(gè)數(shù)相差 時(shí)，也就是 ，我們來看 把它分成兩項(xiàng)（兩個(gè)分式）是不是可以寫成 ，這就是我們的裂項(xiàng)法，分母上 和 兩項(xiàng)通分后我們?cè)趤碛^察和 的區(qū)別。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1. =？
  
  　　分析：原式= =1-
  
  　　一般這個(gè)知識(shí)點(diǎn)還有這樣一個(gè)方式來考察：
  
  　　=2000，這也是一個(gè)求和問題。
  
  　　15.錯(cuò)位相減法
  
  　　【主要考點(diǎn)】
  
  　　一般的，通項(xiàng)形如 × （其中 為等差數(shù)列， 為等比數(shù)列）的數(shù)列求和問題，可以考慮采用錯(cuò)位相減法
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1．求數(shù)列 前 項(xiàng)的和。
  
  　　解析：由題知， 的通項(xiàng)是等差數(shù)列 的通項(xiàng)與等比數(shù)列 的通項(xiàng)之積。
  
  　　設(shè)
  
  　　兩式相減得：（1- ） =
  
  　　=
  
  　　得出：
  
  　　16.放縮法
  
  　　【主要考點(diǎn)】
  
  　　放縮法所應(yīng)對(duì)的題主要是不等式的題，它是一種比較靈活的計(jì)算技巧，對(duì)算術(shù)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆糯蠡蛘呖s小，就能得到正確的答案。
  
  　　放縮法所運(yùn)用到的一個(gè)定理，這個(gè)定理我們學(xué)過，就是我們高中時(shí)候?qū)W過的夾逼定理。
  
  　　夾逼定理：當(dāng)B≤A≤B時(shí)，那么A=B。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1.設(shè) 是正整數(shù)，求證： ≤ ≤1。
  
  　　解析：令 =A，那么A≤ ；
  
  　　A≥ ，故 ≤A≤1。
  
  　　17.利用項(xiàng)與項(xiàng)之間關(guān)系
  
  　　【主要考點(diǎn)】
  
  　　一般地，當(dāng)給出第 項(xiàng)和第 項(xiàng)之間的計(jì)算關(guān)系式時(shí)，我們通過對(duì)此關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理，最后得到一個(gè)我們熟悉的新數(shù)列，然后再進(jìn)行求通項(xiàng)、求前 項(xiàng)的和等運(yùn)算。下面我們通過幾個(gè)例題來進(jìn)一步說明。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1．一列數(shù)排成一排 ，滿足下面關(guān)系式 ，若 =1，則 =（）。
  
  　　A．1 B． C．2007 D．
  
  　　解析：由 可得： ，即 是一個(gè)公差為1的等差數(shù)列，首項(xiàng)為 =1，那么 ，故 。
  
  　　2．已知 對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)都成立，且 。
  
  　　則 =（）。
  
  　　解析：由 ，可知： ，故原式=2+2+2+2 +2=2×2008=4016。
  
  　　18.比較大小
  
  　　【主要考點(diǎn)】
  
  　　比較大小的問題，在以往的公務(wù)員考試中經(jīng)常出現(xiàn)，近幾年的出現(xiàn)率有所降低，但不排除出題的可能。
  
  　　核心知識(shí)點(diǎn)：
  
  　　1、作差法：對(duì)任意兩數(shù) ，如果 則 ；如果 則 。
  
  　　2、作比法：當(dāng) 為任意兩正數(shù)時(shí)，如果 則 ；如果 則 。當(dāng) 為任意兩負(fù)數(shù)時(shí)，結(jié)論則相反。
  
  　　3、中間值法：對(duì)任意兩數(shù) ，當(dāng)很難直接用作差法和作比法比較大小時(shí)， 我們通常選取中間值 ，如果 ，則我們說
  
  　　4、倒數(shù)法：相近分?jǐn)?shù)比較大小時(shí)，可通過比較分?jǐn)?shù)倒數(shù)的大小來比較原分?jǐn)?shù)的大小。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1．分?jǐn)?shù) 中最小的一個(gè)是？
  
  　　A． B． C． D． （2007年四川省招警）
  
  　　解析：我們看分母的值大于分子的值，在這種情況下，我們用倒數(shù)法，題中個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)為 ，把分母變小了，這題比較明顯 最大，故 最小。
  
  　　2．比較 和 大??？
  
  　　解析：分子增加了4，超過了37的10%，分母增加了15，不到157的10%，所以分?jǐn)?shù)變大了
  
  　　比較大小，在資料分析里解題的時(shí)候，是一個(gè)重要的估算方法，可以為我們解題節(jié)約很多時(shí)間。

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  　　19.比例問題
  
  　　【題型特征】
  
  　　公務(wù)員考試必考題型，數(shù)學(xué)運(yùn)算中最重要的題型之一。
  
  　　關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：和誰比；增加或下降多少。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1.有兩只桶，裝有同樣多的油。第一桶用去 ，第二桶用去40%以后，再從第一桶取出8千克油倒如第二桶，這時(shí)第二桶油與第一桶油的比是13：14。則兩桶油原來各裝有多少千克油？（ ）
  
  　　A.200 B.180 C.160 D.240
  
  　　【答案】C。解析：設(shè)每只桶裝油x千克，可列方程 = ，解得x=160。
  
  　　2.某人去商店采購紅、黑兩種筆共66枝，紅筆每枝定價(jià)5元，黑筆每枝定價(jià)9元，由于買的數(shù)量較多，商店就給予了優(yōu)惠，紅筆按定價(jià)的 付錢，黑筆按定價(jià)的 付錢，如果他付的錢比按定價(jià)少 ，那么他買了紅筆多少枝？（ ）
  
  　　A.36 B.28 C.32 D.30
  
  　　【答案】A。解析：紅筆的總價(jià)比原來少了1－ = ，黑筆的總價(jià)比原來少了1－ = ，則紅筆總價(jià)× +黑筆總價(jià)× =（紅筆總價(jià)+黑筆總價(jià)）× ，得紅筆總價(jià)：黑筆總價(jià)=2：3，故紅筆與黑筆的枝數(shù)比是（2÷5）：（3÷9）=6：5，買了紅筆66× =36枝。
  
  　　20.行程問題
  
  　　1、 相遇問題：
  
  　　【知識(shí)要點(diǎn)】
  
  　　甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是兩人共同走了A、B之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么
  
  　　A，B兩地的路程=（甲的速度+乙的速度）×相遇時(shí)間=速度和×相遇時(shí)間
  
  　　相遇問題的核心是“速度和”問題。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1、甲、乙兩車從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，如果甲車提前一段時(shí)間出發(fā)，那么兩車將提前30分相遇。已知甲車速度是60千米/時(shí)，乙車速度是40千米/時(shí)，那么，甲車提前了多少分出發(fā)（ ）分鐘。
  
  　　A. 30 B. 40 C. 50 D. 60
  
  　　解析：【答案】C,本題涉及相遇問題。
  
  　　方法1、方程法：設(shè)兩車一起走完A、B兩地所用時(shí)間為x,甲提前了y時(shí)，則有, (60+40)x=60[y+(x-30)]+40(x-30), y=50
  
  　　方法2、甲提前走的路程=甲、乙 共同走30分鐘的路程，那么提前走的時(shí)間為，30（60+40）/60=50
  
  　　2、甲、乙二人同時(shí)從相距60千米的兩地同時(shí)相向而行，6小時(shí)相遇。如果二人每小時(shí)各多行1千米，那么他們相遇的地點(diǎn)距前次相遇點(diǎn)1千米。又知甲的速度比乙的速度快，乙原來的速度為（ ）
  
  　　A.3千米/時(shí) B.4千米/時(shí) C.5千米/時(shí) D.6千米/時(shí)
  
  　　解析：【答案】B。原來兩人速度和為60÷6=10千米/時(shí)，現(xiàn)在兩人相遇時(shí)間為60÷（10+2）=5小時(shí)，采用方程法：設(shè)原來乙的速度為X千米/時(shí)，因乙的速度較慢，則5（X+1）=6X+1，解得X=4。注意：在解決這種問題的時(shí)候一定要先判斷誰的速度快。
  
  　　方法2、提速后5小時(shí)比原來的5小時(shí)多走了5千米，比原來的6小時(shí)多走了1千米，可知原來1小時(shí)剛好走了5-1=4千米。
  
  　　2.二次相遇問題：
  
  　　【知識(shí)要點(diǎn)】
  
  　　甲從A地出發(fā)，乙從B地出發(fā)相向而行，兩人在C地相遇，相遇后甲繼續(xù)走到B地后返回，乙繼續(xù)走到A地后返回，第二次在D地相遇。則有
  
  　　第二次相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)走的路程的兩倍。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1、甲乙兩車同時(shí)從A、B兩地相向而行，在距B地54千米處相遇，它們各自到達(dá)對(duì)方車站后立即返回，在距A地42千米處相遇。請(qǐng)問A、B兩地相距多少千米？
  
  　　A.120 B.100 C.90 D.80
  
  　　解析：【答案】A。
  
  　　方法1、方程法：設(shè)兩地相距x千米，由題可知，第一次相遇兩車共走了x，第二次相遇兩車共走了2x，由于速度不變，所以，第一次相遇到第二次相遇走的路程分別為第一次相遇的二倍，即54×2=x-54+42，得出x=120。
  
  　　方法2、乙第二次相遇所走路程是第一次的二倍，則有54×2-42+54=120。
  
  　　3.追擊問題：
  
  　　【知識(shí)要點(diǎn)】
  
  　　有甲，乙同時(shí)行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走的慢的走在前，走得快的過一段時(shí)間就能追上。這就產(chǎn)生了“追及問題”。實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的路程，也就是要計(jì)算兩人都的速度差。如果假設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間（追及時(shí)間）內(nèi)：
  
  　　追及路程=甲走的路程-乙走的路程
  
  　　=甲的速度×追及時(shí)間-乙的速度×追及時(shí)間
  
  　　=速度差×追及時(shí)間
  
  　　核心就是“速度差”的問題。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1、一列快車長170米，每秒行23米，一列慢車長130米，每秒行18米?？燔噺暮竺孀飞下嚨匠^慢車，共需（ ）秒鐘
  
  　　A.60 B.75 C.50 D.55
  
  　　解析：【答案】A。設(shè)需要x秒快車超過慢車，則（23-18）x=170+130，得出x=60秒。這里速度差比較明顯。
  
  　　4.流水問題
  
  　　【知識(shí)要點(diǎn)】
  
  　　我們知道，船順?biāo)叫袝r(shí)，船一方面按自己本身的速度即船速在水面上行進(jìn)，同時(shí)整個(gè)水面又按水流動(dòng)的速度在前進(jìn)，因此船順?biāo)叫械膶?shí)際速度（簡(jiǎn)稱順?biāo)俣龋┚偷扔诖俸退俚暮?，即?br />
  　　順?biāo)俣?船速+水速
  
  　　同理：逆水速度=船速-水速
  
  　　可推知：船速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2；水速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1、一艘輪船從河的上游甲港順流到達(dá)下游的丙港，然后調(diào)頭逆流向上到達(dá)中游的乙港，共用了12小時(shí)。已知這條輪船的順流速度是逆流速度的2倍，水流速度是每小時(shí)2千米，從甲港到乙港相距18千米。則甲、丙兩港間的距離為（ ）
  
  　　A.44千米 B.48千米 C.30千米 D.36千米
  
  　　解析：【答案】A。順流速度－逆流速度=2×水流速度，又順流速度=2×逆流速度，可知順流速度=4×水流速度=8千米/時(shí)，逆流速度=2×水流速度=4千米/時(shí)。
  
  　　方法1、方程法：設(shè)甲、丙兩港間距離為X千米，可列方程X÷8+（X－18）÷4=12 解得X=44。
  
  　　方法2、往返乙、丙所用時(shí)間=12-18÷8=39/4，從乙到丙順?biāo)脮r(shí)間是逆水的1/2，順?biāo)叫袝r(shí)間=39/4×1/3=13/4，則乙丙距離=13/4×8=26，故所求距離=18+26=44。
  
  　　21.工程問題
  
  　　【題型特征】
  
  　　核心公式：工作效率×工作時(shí)間=工作量（常設(shè)為“1”）。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1、一篇文章，甲乙兩人合譯，需10小時(shí)完成，乙丙合譯，需12小時(shí)完成，現(xiàn)先由甲丙合譯4小時(shí)，剩下再由乙獨(dú)譯，需12小時(shí)完成，求乙單獨(dú)翻譯需多少小時(shí)？
  
  　　解析：方程法：設(shè)單獨(dú)完成甲需a小時(shí)，乙需b小時(shí)，丙需c小時(shí)。
  
  　　4（1/a+1/c）+12/b=1, 1/a+1/b=1/10,1/b+1/c=1/12. b=15.
  
  　　列表法：
  
  　　甲 乙 丙
  
  　　10 10
  
  　　12 12
  
  　　4 12 4
  
  　　由表：甲4小時(shí)工作量=丙8小時(shí)工作量，可知，相應(yīng)速度比=2：1故，甲工作10小時(shí)相當(dāng)于丙工作20小時(shí)。從而有，
  
  　　乙2小時(shí)工作量=丙8小時(shí)工作量，可知，乙丙速度比=4：1,則丙工作12小時(shí)相當(dāng)于乙工作3小時(shí)，則乙單獨(dú)需=12+3=15小時(shí)。
  
  　　22.濃度問題
  
  　　【題型特征】
  
  　　核心公式：溶液濃度=溶質(zhì)/溶液=溶質(zhì)/（溶質(zhì)+溶劑）
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1、 甲容器中有濃度為4%的鹽水150克，乙容器中有某種濃度的鹽水若干，從乙中取出450克鹽水，放入甲中混合成濃度為8.2%的鹽水，那么乙容器中的濃度是多少？
  
  　　解析：法1、方程法：
  
  　　法2、十字交叉法：
  
  　　4% 1.4% 150
  
  　　8.2%
  
  　　? =9.6% 4.2% 450
  
  　　2把濃度為20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到濃度為36%的溶液50升。已知濃度為30%的溶液用量是濃度為20%的溶液用量的2倍，濃度為30%的溶液的用量是多少升？
  
  　　解析：法1、方程法：
  
  　　法2、十字交叉法：
  
  　　20% 14% /2
  
  　　30% 36% 6%
  
  　　50% 16% 50- - /2
  
  　　故有：14%（50- - /2）= 16%（ /2）+ 6 %， =20。

• 國考行政訴訟和行政復(fù)議管轄之?？紗栴}
• 詳析03-04年國家公務(wù)員真題之?dāng)?shù)字推理
• 詳析01-02年國家公務(wù)員真題之?dāng)?shù)字推理
• 詳析99-00年國家公務(wù)員真題之?dāng)?shù)字推理
• 公務(wù)員考試行政職業(yè)能力測(cè)試典型例題分析

  
  
  　　23.利潤利率
  
  　　【題型特征】
  
  　　基本概念：成本、銷售價(jià)、利潤、利潤率。
  
  　　核心公式：利潤=銷售價(jià)-成本
  
  　　利潤率=利潤/成本=（銷售價(jià)-成本）/成本=銷售價(jià)/成本-1。
  
  　　銷售價(jià)=成本×（1+利潤率）
  
  　　成本=銷售價(jià)/（1+利潤率）
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1、商店新進(jìn)一批洗衣機(jī)，按30%的利潤定價(jià)，售出60%以后，打八折出售，這批洗衣機(jī)實(shí)際利潤的百分?jǐn)?shù)是多少？
  
  　　A.18.4 B.19.2 C.19.6 D.20
  
  　　.【答案】C。解析：先賣掉60%收回的錢為1×（1+30%）×60%=78%，后賣掉40%收回的錢為1×（1+30%）×80%×（1－60%）=41.6%，故實(shí)際利潤的百分?jǐn)?shù)為78%+41.6%－100%=19.6%。
  
  　　2.某商品按定價(jià)出售，每個(gè)可以獲得45元的利潤，現(xiàn)在按定價(jià)的八五折出售8個(gè)，按定價(jià)每個(gè)減價(jià)35元出售12個(gè)，所能獲得的利潤一樣。這種商品每個(gè)定價(jià)多少元？（ ）
  
  　　A.100 B.120 C.180 D.200
  
  　　【答案】D。解析：每個(gè)減價(jià)35元出售可獲得利潤（45－35）×12=120元，則如按八五折出售的話，每件商品可獲得利潤120÷8=15元，少獲得45－15=30元，故每個(gè)定價(jià)為30÷（1－85%）=200元。
  
  　　24. 牛吃草問題
  
  　　【題型特征】
  
  　　2006年后的公務(wù)員考試中出現(xiàn)了一些較難的“牛吃草”問題，這類題在理解上有一定的難度，但如果掌握了關(guān)鍵點(diǎn)，便較容易解答。
  
  　　關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)：1、草場(chǎng)原有的草量。2、草場(chǎng)每天生長的草量；3、牛每天吃的草量。
  
  　　核心關(guān)系式：
  
  　　牛吃草總量（牛頭數(shù)×時(shí)間）=原有草量+新長出草量（每天長草量×時(shí)間）
  
  　　總量的差/時(shí)間差=每天長草量=安排去吃新草的牛的數(shù)量
  
  　　原有草量/安排吃原有草的牛的數(shù)量=能吃多少天。
  
  　　單位：1頭牛1天吃草的量
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1、一片牧草，可供16頭牛吃20天，也可以供20頭牛吃12天，那么25頭牛幾天可以吃完？
  
  　　解析：法1（方程法），等量關(guān)系：原有草量相等。
  
  　　設(shè)每頭每天吃草量為“1”， 天吃完，每天長草量
  
  　　16×20-20 =20×12-12 =25 - , =8, =10.
  
  　　法2，速度差（追及問題），吃完草可以看著是牛追上草。
  
  　?。ㄅ３圆菟俣?草生長速度）×時(shí)間（天數(shù)）=原有草量
  
  　　20（16- ）=12（20- ）= （25- ）, =8, =10.
  
  　　法3（利用基本關(guān)系式）
  
  　　總量的差/時(shí)間差=每天長草量，（16×20-20×12）/（20-12）=10；
  
  　　原有草量=牛吃草總量-新長出草量，16×20-20×10=120；
  
  　　25頭牛分10頭吃每天長出的草，還剩15頭吃原有的草，120/15=8天。
  
  　　2、有一個(gè)水池，池底有泉水不斷涌出。用5臺(tái)抽水機(jī)20小時(shí)可將水抽完，用8臺(tái)抽水機(jī)15小時(shí)可將水抽完。如果14臺(tái)抽水機(jī)需多少小時(shí)可以抽完？（ ）
  
  　　A.25 B.30 C.40 D.45
  
  　　解析：泉水每小時(shí)涌出量為：（8×15－5×20）÷（20－15）=4份水；
  
  　　原來有水量：8×15-4×15=60份；
  
  　　用4臺(tái)抽涌出的水量，10臺(tái)抽原有的水，需60/10=6小時(shí)。
  
  　　25. 容斥問題
  
  　　【題型特征】
  
  　　容斥原理的集合描述:
  
  　　1.
  
  　　2.
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1.對(duì)某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡看戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有：
  
  　　A．22人 B．28人 C．30人 D．36人 （2005年國家A類行測(cè)真題）
  
  　　正確答案【A】
  
  　　解法1：設(shè)A＝喜歡看球賽的人（58），B＝喜歡看戲劇的人（38），C＝喜歡看電影的人（52），則有：
  
  　　A∩B＝既喜歡看球賽的人又喜歡看戲劇的人（18）
  
  　　B∩C＝既喜歡看電影又喜歡看戲劇的人（16）
  
  　　A∩B∩C＝三種都喜歡看的人（12）
  
  　　A∪B∪C＝看球賽和電影、戲劇至少喜歡一種（100）
  
  　　根據(jù)公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
  
  　　C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）
  
  　　＝148－（100＋18＋16－12）＝26
  
  　　所以，只喜歡看電影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C
  
  　?。?2－16－26＋12＝22
  
  　　26.抽屜原理
  
  　　【題型特征】
  
  　　我們先來看一個(gè)例子，如果將13只鴿子放進(jìn)6只鴿籠里，那么至少有一只籠子要放3只或更多的鴿子。道理很簡(jiǎn)單。如果每只鴿籠里只放2只鴿子，6只鴿籠共放12只鴿子。剩下的一只鴿子無論放入哪只鴿籠里，總有一只鴿籠放了3只鴿子。這個(gè)例子所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，就是下面的抽屜原理2。
  
  　　抽屜原理1：將多于n件物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么知道有一個(gè)抽屜中的物品件數(shù)不少于2個(gè)。
  
  　　抽屜原理2：將多于m×n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1. 一個(gè)布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號(hào)碼1，2，3，4的各有10塊。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號(hào)碼相同的木塊？
  
  　　解析：將1，2，3，4四種號(hào)碼看成4個(gè)抽屜。要保證有一個(gè)抽屜中至少有3件物品，根據(jù)抽屜原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9塊木塊，才能保證其中有3塊號(hào)碼相同的木塊。
  
  　　2．在一個(gè)口袋中有10個(gè)黑球、6個(gè)白球、4個(gè)紅球，至少從中取出多少個(gè)球才能保證其中有白球？
  
  　　A．14 B．15 C．17 D．18
  
  　　解析：抽屜原理，最壞的情況是10個(gè)黑球和4個(gè)白球都拿出來了，最后第15次拿到的肯定是白球。
  
  　　27. 排列組合問題
  
  　　【題型特征】
  
  　　加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：
  
  　　N=m1+m2+…+mn
  
  　　種不同方法。
  
  　　再看下面一道例題：
  
  　　問題2：由A村去B村的道路有3條，由B村去C村的道路有2條．從A村經(jīng)B村去C村，共有多少種不同的走法？
  
  　　乘法原理：做一件事，完成它可以有n個(gè)步驟，在第一個(gè)步驟中有m1種不同的方法，在第二個(gè)步驟中有m2種不同的方法，……，在第n個(gè)步驟中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：
  
  　　N=m1×m2×…×mn
  
  　　種不同的方法。
  
  　　排列
  
  　　從n個(gè)不同元素中，任取m( )個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列
  
  　　1. 什么叫不同的排列？//**元素和順序至少有一個(gè)不同.//
  
  　　2. 什么叫相同的排列？//**元素和順序都相同的排列.//
  
  　　排列數(shù)
  
  　　從n個(gè)不同元素中，任取m( )個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的排列數(shù)，用符號(hào) 表示. 其中 =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）
  
  　　例題：由數(shù)字1、2、3、4可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？
  
  　　組合
  
  　　從n個(gè)不同元素種取出m（ ）個(gè)元素拼成一組，稱為從n個(gè)不同元素取出m個(gè)元素的一個(gè)組合
  
  　　組合數(shù)
  
  　　從n個(gè)不同元素中，任取m( )個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)元素中取出m元素的組合數(shù)，用符號(hào) 表示. 其中 = n（n-1）（n-2）…（n-m+1）/m!
  
  　　組合數(shù)性質(zhì)：
  
  　　二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識(shí)：
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1：某鐵路線上有25個(gè)大小車站，那么應(yīng)該為這條路線準(zhǔn)備多少種不同的車票( )。
  
  　　A．625 B．600 C．300 D．450
  
  　　解析：此題的關(guān)鍵是要分清到底屬于排列問題還是組合問題，此題要問有多少種不同的車票，在這里從甲地到乙地和從乙地到甲地（即往返票）是要準(zhǔn)備兩種車票的，故屬于排列問題，即 =600種。相對(duì)應(yīng)的我們看下面這道題
  
  　　2：從6名男生，5名女生中任選4人參加競(jìng)賽，要求男女至少各1名，有多少種不同選法？
  
  　　A．240 B.310 C.720 D.1080
  
  　　解析；此題中正面考慮情況比較多，采用間接法，至少1名的反面就是分別只選男生或者女生，故共有 =310種
  
  　　3．6個(gè)人站成一排，要求甲、乙必須相鄰，那么有多少種不同的排法？
  
  　　A．280 B.120 C.240 D.360
  
  　　解析：將甲、乙“捆綁”在一起，看做是一個(gè)人參與排列，注意甲乙本身的順序（即甲在乙的左邊還是右邊），那么共有： =240種。
  
  　　4.將10臺(tái)電腦分配給5個(gè)村，每村至少一臺(tái)，那么有所少中不同的分配方法？
  
  　　A．126 B.320 C.3024 D.1024
  
  　　解析：10臺(tái)電腦并成一排，內(nèi)部形成9個(gè)孔空，任意在這9個(gè)空中插入4個(gè)板，那么就把著10臺(tái)電腦分成了5部分，每一種插法就對(duì)應(yīng)一種分配方法，故有 =126種方法
  
  　　28. 簡(jiǎn)單概率問題
  
  　　【題型概述】
  
  　　1. 隨機(jī)事件基本概念
  
  　　隨機(jī)事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；
  
  　　必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件；
  
  　　不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件
  
  　　1.古典概型中，概率的定義：
  
  　　P（A）=
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1.將一個(gè)硬幣擲兩次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少?( )。 （07浙江B） （07浙江B類）
  
  　　A. 1／2 B. 1／3 C. 1／4 D. 2／3
  
  　　解析：硬幣投擲兩次一共可能的情況有：（正，正）（正，反）（反，正）（反，正），那么有一次為正且有一次為反的概率為2÷4= ,選A。
  
  　　2.有一個(gè)擺地?cái)偟臄傊?，他拿?個(gè)白球，3個(gè)黑球，放在一個(gè)袋子里，讓人們摸球中獎(jiǎng)。只需2元就可以從袋子里摸3個(gè)球，如果摸到的3個(gè)球都是黑球，可得10元回扣，那么中獎(jiǎng)率是多少？如果一天有300人摸獎(jiǎng)，攤主能騙走多少元? （05山東行測(cè)）
  
  　　A. B. C. ,420 D.
  
  　　解析：把3次都摸到黑球看作事件A，那么試驗(yàn)的結(jié)果總數(shù)為從6個(gè)球中任取3個(gè)球的取法共 種，有利于A的結(jié)果總數(shù)為1種，故所求中獎(jiǎng)率為：
  
  　　=
  
  　　攤主騙走的錢為：300×2-300× ×10=450元，選B。
  
  　　29. 題型概述
  
  　　【基礎(chǔ)理論】
  
  　　1）基本公式
  
  　　周長 面積
  
  　　梯形
  
  　　圓
  
  　　2)
  
  　　柱體 體積 表面積
  
  　　棱柱
  
  　　圓柱
  
  　　椎體 棱錐
  
  　　圓錐
  
  　　球體
  
  　　3）基本性質(zhì)
  
  　　圖形 性質(zhì)
  
  　　三角形 1） 等底等高的兩個(gè)三角形面積相等
  
  　　2） 直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半
  
  　　3） 相似圖形邊長比等于相似比，面積比為相似比的平方
  
  　　圓 1） 同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半
  
  　　2） 周長相同的所有平面圖形中，圓的面積最大
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1.相同表面積的四面體，六面體，正十二面體以及正二十面體，其中體積最大的是：
  
  　　A．四面體 B.六面體 C.正十二面體 D.正二十面體 （2008國家行側(cè)）
  
  　　【答案】D。解析：當(dāng)表面積相同時(shí)，趨近于圓的空間幾何體體積最大。
  
  　　2.一只小鳥離開在樹枝上的鳥巢，向北飛了10米，然后又向東飛了10米，然后又向上飛了10米。最后，它沿著到鳥巢的直線飛回了家，請(qǐng)問：小鳥飛行的總長度與下列哪個(gè)最接近？
  
  　　A．17米 B. 40米 C.47米 D. 50米 （2008北京應(yīng)屆）
  
  　　【答案】C。解析：此題需要一定的空間想象能力，關(guān)鍵是求出直線飛回家的的距離：
  
  　　=10 ≈17，故總長度為：10+10+10+10 ≈47，選C
  
  　　30.數(shù)學(xué)歸納法
  
  　　【題型概述】
  
  　　核心知識(shí)：數(shù)學(xué)歸納法就是用一部分規(guī)律來概括全體的規(guī)律，那么就可以用這個(gè)規(guī)律來解決所有類似問題。在公考中，數(shù)字推理題就是數(shù)學(xué)歸納法的一個(gè)廣泛應(yīng)用，從已知條件（數(shù)列），總結(jié)出該數(shù)列的規(guī)律，在推廣應(yīng)用得到下個(gè)數(shù)字。邏輯推理中的歸納推理，歸納推理是從若干個(gè)別性的前提出發(fā)，推出一個(gè)一般性結(jié)論的推理。歸納推理的前提本身是個(gè)別性、經(jīng)驗(yàn)性的，而其結(jié)論對(duì)于前提來說則是一般性、普遍性的。歸納推理是由具體到抽象、感性到理性、特殊到一般的一種思維上升。
  
  　　【經(jīng)典例題】
  
  　　1．在一張正方形的紙片上有900個(gè)點(diǎn)，加上正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，共有904個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)中任意3個(gè)點(diǎn)不共線，將這張紙剪成三角形，每個(gè)三角形的薩那個(gè)點(diǎn)是904個(gè)點(diǎn)中的點(diǎn)，每個(gè)三角形都不含這些點(diǎn)，可以剪成多少個(gè)三角形？。
  
  　　解析：正方形中有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，按題意可以分為4個(gè)三角形
  
  　　當(dāng)其中有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)（任意三點(diǎn)不在同一直線上），按題意可以分為6個(gè)三角形。
  
  　　以后每增加一個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)不在同一直線上），按題意將增加2個(gè)三角形。
  
  　　當(dāng)其中有900個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的數(shù)目為：4+（900-1)×2=1802。
  
  　　2．有一樓梯共10級(jí),如規(guī)定每次只能跨上一級(jí)或兩級(jí),要蹬上第10級(jí),共有多少種不同的走法?
  
  　　解析：當(dāng)臺(tái)階數(shù)為1時(shí)，有1種辦法
  
  　　當(dāng)臺(tái)階數(shù)為2時(shí)，有2種辦法
  
  　　當(dāng)臺(tái)階數(shù)為3時(shí)，有3種辦法
  
  　　……
  
  　　隨著臺(tái)階數(shù)的增加，方法數(shù)正好是下面的數(shù)列
  
  　　1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ……該數(shù)列為一和數(shù)列。前2項(xiàng)和等于第3項(xiàng)。

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