巖土工程師基礎(chǔ)考試：微分學(xué)(2)

　　導(dǎo)數(shù)作為變化量之比的極限，不僅是變量變化的一種數(shù)量表現(xiàn)，而且還能通過函數(shù)關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算。

　　線性主要部分 導(dǎo)數(shù)的存在表明切線的存在。假如函數(shù)y=ƒ(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ƒ┡(x)存在，則函數(shù)曲線在相應(yīng)點(diǎn)p(x,y)處有斜率為ƒ┡(x)的惟一確定的切線存在。它在切點(diǎn)p附近與曲線密合,并且在相當(dāng)靠近切點(diǎn)的地方，密合得難以區(qū)分(圖2)。這在分析上意味著在點(diǎn)x的小鄰域內(nèi)，函數(shù)值y=ƒ(x)是可以用切線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)值來近似的。而且在 x充分小的鄰域內(nèi)，近似誤差R與Δx=x1-x相比是微不足道的。事實(shí)上 由于ƒ┡(x)存在，就有 這樣，函數(shù)的改變量Δy就被分解成了兩部分之和，其中第一項線性地依賴于Δx,而它與Δy相差是關(guān)于Δx的高階無窮小量。換言之,當(dāng)Δx很小時,舍棄這個微不足道的誤差，剩下的部分ƒ┡(x)Δx就可以作為Δy的近似值了。這一項被稱為Δy的線性主要部分。

　　微分的概念

　　自變量x的變化量Δx與x是無關(guān)的,稱為自變量的微分,記為dx;而因變量相應(yīng)的變化量Δy的線性主要部分 則稱為函數(shù)y=ƒ(x)在點(diǎn)x處相應(yīng)于自變量的變化量Δx的微分。

　　抽象看來，微分有兩個特性，其一是dy是dx的齊次線性函數(shù),其二是dy與Δy之差是關(guān)于Δx的高階無窮小量。這兩個特性完全決定了微分本身：如果有一個Δx的齊次線性函數(shù)為AΔx，

　　同時具有第二種特性，則可以斷定A=ƒ┡(x),亦即線性函數(shù)AΔx就必定是函數(shù)的微分。所以對一元函數(shù)說來，導(dǎo)數(shù)的存在性與微分的存在性是等價的。

　　微分的概念從萌發(fā)到完整，其嚴(yán)格化經(jīng)歷了幾個世紀(jì)。即使在微積分蓬勃發(fā)展的牛頓-萊布尼茨-歐拉時代，數(shù)學(xué)家們盡管能用微分進(jìn)行近似計算，布列并求解微分方程，但由于無窮小量的概念尚未精確化，微分的概念并不明晰;直至19世紀(jì)，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性發(fā)展到了新的高度，微分的概念才被確切地理解。

　　一階微分形式不變性 對復(fù)合函數(shù) 如果ƒ(u)和φ(x)都是可微函數(shù)，則在x為自變量時這說明，dy的表達(dá)式不論對自變量x還是對中間變量u其形式是不變的。也就是說可以不必區(qū)分變量u是自變量或因變量，函數(shù)y=ƒ(u)的微分永遠(yuǎn)具有一個共同的形式： 這就是一階微分形式不變性，這使得有時利用微分進(jìn)行計算比運(yùn)用導(dǎo)數(shù)要簡單。

　　由于一階微分是自變量改變量的線性函數(shù)，在求函數(shù)的變化量時用微分作近似計算很簡便。例如 在x=2與Δx=0.01時, ，

　　而這里dy與Δy相同至三位小數(shù),而計算dy要比計算Δy容易得多。

編輯推薦：

2013巖土工程師《基礎(chǔ)知識》備考練習(xí)題匯總